Sobre el paradójico origen y curso ulterior de la ley de Titius-Bode

Johann Daniel Titius (1729-1796), profesor de física de la antigua Universidad de Wittenberg (Sajonia), tradujo al alemán la obra francesa Contemplation de la Nature, de Charles Bonnet (1720-1793).

Sin decir nada a nadie, Titius intercaló dos parágrafos propios que se encuentran al final de la página 7 y en el comienzo de la 8 en la edición alemana de 1766. En el prefacio, Bonnet advierte, sin precisar dónde, que Titius ha intercalado algunas notas propias, lo cual hace suponer no solo su conocimiento, sino también su conformidad. Por supuesto, el texto nuevo intercalado no se halla ni en el original francés ni en las traducciones de la obra de Bonnet al italiano y al inglés.

En el texto intercalado a que nos referimos hay dos partes, una a continuación de la otra. En la primera se expone la sucesión de las distancias planetarias al Sol de los planetas históricos, desde Mercurio a Saturno, redondeadas a números enteros y sigue: Si damos 100 puntos a Saturno y 4 a Mercurio, a Venus corresponderán 4+3 = 7 puntos; a la Tierra 4+6 = 10; a Marte, 4+12 = 16; al siguiente serían 4+24 = 28, pero no hay planeta; y serán 4+48 = 52 puntos y 4+96 = 100 puntos respectivamente, para Júpiter los primeros y para Saturno los segundos.

En la segunda parte intercalada se añade: Si al radio de la órbita de la Tierra le damos el valor de 10, los radios de las otras órbitas vendrán dados por la fórmula Rn = 4 + (3 + 2^n), siendo n = -∞ para Mercurio y 0, 1, 2, 3, 4 y 5 para los planetas que le siguen.    

Estos dos enunciados, por toda su particular tipología y el hablar de radios de las órbitas, parecen derivarse de una antigualla cosista[1]. De hecho, se han ido encontrando muchos precedentes de hasta principios del siglo XVII. Titius fue discípulo del filósofo alemán Christian Freiherr von Wolf (1679-1754). La segunda parte del texto intercalado se encuentra también en una obra de von Wolf de 1723, y por esto, en el siglo XX solía asignarse la autoría de la ley al filósofo alemán. De hecho, Titius fue discípulo de Wolf. Otra referencia más antigua es la de James Gregory de 1702, en sus Astronomiae physicae et geometricae elementa, libro donde la sucesión de las distancias planetarias 4, 7, 10, 16, 52 y 100 se convierte en una progresión geométrica de razón 2. Es la fórmula más cercana a Newton, anterior a la publicación alemana del libro de Bonnet, quizás conocida también por Benjamin Martin y por el propio Tomás Cerdá, antes de la publicación alemana del libro de Bonnet.

Como hemos visto (3), el texto intercalado por Titius en el libro de Bonnet fue efectivamente transcrito en la obra de astronomía de Johann Elert Bode (1747-1826). En ninguna de las ediciones del Aleitung zur kenntnis des gestirnten Himmels (1771-1772) se cita a Titius, si bien el autor no se asigna claramente la autoría de la ley. Fue solamente en una memoria póstuma de Bode donde se ha encontrado una referencia a Titius con el reconocimiento de su prioridad, si bien lo que ya conocía todo el mundo era la ley de Bode.

Titius y Bode esperaban que la ley llevaría al descubrimiento de nuevos planetas. En realidad no fue así. Los de Urano y Ceres más bien contribuyeron a dar fama  a la Ley de Titius-Bode que no ésta a su descubrimiento. Neptuno y Plutón ya no entraron en dicha ley. No obstante, posteriormente se ha aplicado a los satélites de los grandes planetas y en la actualidad hasta a los planetas extrasolares (5).

En el siglo XIX, la ley de Bode o de Titius-Bode: 1) Muchos autores o no la conocen o no la citan nunca (9.4). 2) Otros la utilizan como si fuera una ley básica de la mecánica celeste, sin relación con Newton. 3) Hay también quienes la consideran una aproximación aritmética casual, y 4) como ley ya establecida por Kepler, pero sin demostrarlo.

Es interesante citar el magnífico libro El telescopio moderno de A.T. Arcemis de más de 1.500 páginas, en dos grandes volúmenes, editado en 1878 (Muntaner & Simón. Barcelona), que nos dice que la ley de Titius tiene su origen en un libro francés escrito por este autor alemán y denominado Contemplación de la naturaleza. Ha sido necesario llegar hasta el siglo XXI para aclarar mejor esta cuestión, como se ha descrito en (3)  

Hasta ahora, la Ley de Titius-Bode ha permanecido sin ninguna explicación teórica sólida y convincente de su significado físico, y también sin considerarse un artefacto numérico. Su historia siempre ha ido más ligada a ruido que a nueces. ¿Cómo puede compararse a la obra de Hiparco con respecto a las distancias planetarias, a la de Kepler con respecto a la órbita de Marte, al descubrimiento de Neptuno, al cálculo de una efeméride o al de una órbita partiendo solo de tres posiciones, o con la explicación de la desviación del perihelio de Mercurio? A pesar de ello sigue siendo citada y más citada.

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[1] Los cosistas eran expertos en todo tipo de cálculos, y tanto comerciantes como empresarios los contrataban para resolver complicados problemas de contabilidad. Su apelativo deriva de la palabra italiana cosa porque usaban símbolos para representar los valores desconocidos, de manera similar al uso que los matemáticos hacen hoy en día de x. Todos los profesionales de la resolución de problemas en esta época inventaron sus propios y astutos procedimientos para realizar cálculos, e hicieron todo lo posible por guardar esos métodos en secreto y mantener así la fama de ser las únicas personas capaces de resolver determinados problemas.  

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Una explicación de la ley de Titius-Bode que podría ser anterior a su origen histórico

El jesuita Tomás Cerdá (1715-1791) dió un célebre curso de astronomía en Barcelona en 1760, en la “Real Cátedra de Matemáticas del Colegio de San Jaime de Cordelles” (Imperial y Real Seminario de Nobles de Cordellas). Del manuscrito original conservado en la Real Academia de la Historia de Madrid, Lluís Gasiot rehízo el Tratado de Astronomía de Cerdá, publicado en 1999, el que se basa en los Astronomiae physicae de James Gregory (1702) y particularmente en la Philosophia Britannica de Benjamin Martin (1747). En el Tratado de Cerdá podemos encontrar las distancias planetarias obtenidas a partir de los tiempos periódicos y aplicando la tercera ley de Kepler, con una precisión de 10-3. Tomando de referencia la distancia de la Tierra como 10 y redondeando a enteros, puede establecerse la progresión geométrica [(Dn x 10) – 4] / [Dn-1 x 10) – 4] = 2, desde n=2 a n=8. Utilizando el movimiento circular uniforme ficticio equivalente de la Anomalía de Kepler, pueden obtenerse los valores Rn de los radios correspondientes a cada planeta, con los cuales pueden obtenerse las razones rn = (Rn – R1) / (Rn-1 – R1) que resultan ser 1,82; 1,84; 1,86; 1,88 y 1,90, con lo cual rn = 2 – 0,02 (12 – n). La relación entre la sucesión kepleriana y la Ley de Titus-Bode muestra que se trata simplemente de una aproximación numérica casual. La razón geométrica media es 1,86, próxima a 2, pero en realidad es la media de una sucesión regular creciente desde 1,82 hasta 1,90 entre n=3 y n=7.

La velocidad media de los planetas desde n=1 a n=8 disminuye al alejarse del Sol y difiere del descenso uniforme en n=2, para recuperarlo a partir de n=7 por resonancia orbital. El paso de la espiral de Arquímedes que forma las velocidades planetarias solo comprende los 8 términos consecutivos.

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Lo que dio a conocer la Ley de Titius-Bode ya había sido establecido por Kepler con anterioridad

Entre otros autores, Comas Solà definía la Ley de Titius-Bode a mitad del siglo XX como una fórmula aritmética que establece aproximadamente una progresión geométrica de razón 2 con las distancias de los planetas al Sol, según lo que ya había sido establecido por Kepler con anterioridad (4.5).

Como otros astrónomos de su época, Kepler ya disponía de las distancias de los planetas al Sol con relación a la de la Tierra determinadas por los métodos trigonométricos (4.1). También conocía los tiempos periódicos determinados directamente viendo que la relación Pn / Pn-1~ 2, faltando un planeta entre Marte y Júpiter (n=5). Entre n=3 y n=7 las distancias al Sol eran función exponencial del orden de sucesión de n. Naturalmente, por la tercera ley DK = (Pn /P3)^2/3. Sabía también que (10 x DK)n – 4 / (10 x DK)n-1 – 4 = 2. Con el cálculo de la anomalía tenía el movimiento circular uniforme equivalente al real elíptico y podía calcular los radios correspondientes Rn. Con ello se obtiene la relación

 

Rn – R1 / Rn-1 – R1 = 2 – 0,02 (12-n)

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que quizás sea la más importante que existe entre la Ley de Titius-Bode y lo que Kepler ya había establecido al respecto con anterioridad.

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La Ley de Titius-Bode solo puede aplicarse a los planetas históricos del sistema solar copernicano a partir de n=2. No es válidad para los asteroides ni para los cometas

En la figura 17 tenemos una fotocopia de la página 10 del facsímil original del manuscrito de Copérnico (1539) de su célebre De revolutionibus orbium coelestis. En la figura 16 encontramos la representación de N. Winston incluida en la página 5 del Tratado de Astronomía de T. Cerdà (1760), que comprende planetas y cometas con diferentes tiempos periódicos y distancias al Sol.   

En las figuras 14 y 15 tenemos las fotocopias del manuscrito del Tratado de arismética y geometría practica de Juan de Área y Quiroga (1718, figura 18), que representan el sistema ptolomaico (s. II dC.) y el ticónico (s. XVI dC.) como respuesta a la pregunta 36 y a los cuales no sería aplicable la Ley de Titius-Bode.

Como ya hemos señalado, (6.1), cada órbita planetaria queda definida por siete elementos entre los cuales hay el de la distancia al Sol. Con la mecánica newtoniana se pueden calcular todos los elementos a partir de tres posiciones aparentes del planeta, con su ascensión, recta y declinación. Ya sabemos que su conocimiento fue conseguido históricamente por aproximaciones sucesivas de muchísimas posiciones aparentes, seguidas de los correspondientes ajustes. Así es como Kepler y otros observadores ya disponían de órbitas bastante correctas de los planetas históricos.

Los cometas y los asteroides no siguen la Ley de Titius-Bode. Prescindiendo de ella, en 1850 Francisco Verdejo Paez, catedrático de geografía de la Universidad de Madrid, en su Geografía Astronómica (Imprenta de Repullés, Madrid), hace una sucesión única de distancias al Sol, incluyendo los asteroides conocidos en esta época: Mercurio, 0,4; Venus, 0,7; Tierra, 1,0; Marte, 1,6; Flora, 1,9; Vesta, 2,4; Iris, 2,4; Metis, 2,4; Hebe, 2,4; Astrea, 2,4; Juno, 2,7; Ceres, 2,8; Palas, 2,9; Higia, 3,0; Júpiter, 5,3; Saturno, 9,7; Urano, 19,4; y Neptuno, 40,5. Las inclinaciones de la órbita desde Flora hasta Higia serían: Flora, 5°53’; Vesta, 7°8’; Iris, 5°28’; Metis, 5°35’; Hebe, 14°48’; Astrea, 5°19’; Juno, 13°4’; Ceres, 10°37’; Palas, 34°38’ y Higia, 3°48’. J. Regueiro Argüelles, antes citado (2), en su Astronomía física del mismo año, deja la distancia al Sol correspondiente a n=5 sin planeta alguno, colmo los autores más modernos, y solo siete términos para la ley de Bode.

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Distancias interplanetarias. Razón geométrica media rn = 1,86 desde n=3 a n=7 de la sucesión de distancias al Sol. Lo más paradójico del éxito de la Ley de Titius-Bode. Influencia de la introducción del telescopio

La posición de los planetas proyectada en la bóveda celeste desde la Tierra cambia como consecuencia del movimiento simultáneo de la Tierra y del planeta. Así por ejemplo, la Tierra da doce vueltas al Sol en tanto que Júpiter da solo una, y por esto vemos correr el planeta medio año en un sentido y otro medio en el opuesto, el primero más deprisa que el segundo. Hay una circunferencia que lleva engastado el planeta que gira doce veces, dando la revolución completa al Sol. Es el llamado epiciclo. El de Saturno es más lento y el de Marte más rápido. El de Venus y el de Mercurio, más complicados. Además, cada planeta viene a encontrarse ora más próximo, ora más lejos de la Tierra. Por ejemplo, en ciertos puntos, Marte se halla cuatro veces más lejos de nosotros que en otros. Para explicar estas variaciones, hubo que modificar el círculo, de lo cual surgió la idea de un centro de giro desplazado, con la Tierra más distante o más próxima. Constituye la excéntrica. Con las leyes de Kepler todo esto cambió. Con su cálculo de la anomalía se obtiene un movimiento circular uniforme equivalente (4.5), entre n=1 y n=7, con una razón media de (Rn – R1) / (Rn-1 – R1) = 2 – 0,02 (12-n) = 1,82; 1,84; 1,86; 1,88; 1,90 / 5 = 1,86 en lugar de 2 como valor medio.

Para el autor de este ensayo, es inverosímil creer que Copérnico, Galileo, Kepler o Newton fueran capaces de intercalar un texto anónimo en la traducción de un libro como al parecer lo hizo Titius, y también que pudieran apropiarse de este texto intercalado en un libro propio, como hizo Bode. Aún hoy resulta paradójico el éxito persistente de esta actuación, después de tres siglos, de lo que puede ser simplemente una antigualla cosista de principios del siglo XVIII. Hay causas remotas de estos fenómenos. En este caso digamos que, sin la introducción del telescopio por Galileo, la Ley de Titius-Bode no habría existido, pero seguiría implícita en la obra de Kepler. También se ha dicho que Copérnico pudo sacar la Tierra del centro del mundo gracias al descubrimiento de América. No obstante, el catálogo de nebulosas de Bode y sus nuevas constelaciones podrían haber desprestigiado a cualquiera, pero lo único que ha ocurrido es que ya nadie se acuerda.

No creo que la racionalidad y, en especial, el conocimiento científico haya cambiado el tipo medio de la naturaleza humana anterior, como lo hizo, por ejemplo, pasar de la Edad de piedra a la Edad de los metales. La etapa del Homo sapiens empieza con la escritura, que es un hecho relativamente reciente, desde 5.000 a 6.000 años. En las tinieblas más alejadas del tiempo está el Homo habilis, hace unos dos millones de años. La Edad del hierro lo cambió más que a nosotros nos ha cambiado la ciencia. Sin comparación con el pequeño y lento cambio que pueda venir de saber que la Tierra es un planeta que gira alrededor del Sol, pero a la larga nadie sabe lo que en el futuro puede llegar a ocurrir.

Kepler y Newton eran actualistas, las cosas son como fueron creadas, y ambos estaban sólidamente anclados en una sola creación antropocéntrica (4.5). Es posible que a gran escala de tiempo, la historia del hombre, la del planeta Tierra e incluso la del propio sistema solar puedan llegarnos a parecer fenómenos minúsculos y pasajeros. Habría que verlo en su día, pero sería imposible para Homo habilis.